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概要

 命題計算を与える、真理値の代数のモデルです。真理値の他、もっと大きな集合を扱う代数も考えることが出来ます。ブール代数が持つ補元(complement) の概念は群が持つ逆元(inverse) という概念と異なります。

 高専で習ったとき、ブール代数は論理演算のことと教わりましたが、後に定義がもっと広いことを知りました。集合の演算や実数の演算も定義次第でブール代数と認めることができます。

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定義

 代数系 (S,+,*,〜,0,1) が、次の性質を満たすときブール代数(Boolean algebra) といいます。

定義1) 代数系 (S,+,*,〜,0,1) がブール代数
def
以下の (1)〜(6) を満たす

 (1) + と * は結合的2項演算子

 (2) + と * は対称的演算子

 (3) + の単位元が 0 、* の単位元が 1

 (4) 単項演算子 〜 は、全ての a に対して a+(〜a)=1 と a*(〜a)=0 を満たし、〜a を補元(complement ) という

 (5) * は + に分配的 a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

 (6) + は * に分配的 a+(b*c)=(a+b)*(a+c)

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双対

 どのようなブール代数にも双対(duel) なブール代数が存在します。双対なブール代数というのは、*と+ の役割りを入れ替え、さらに 0 と 1 の役割りを入れ替えたブール代数のことです。

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 例えば、論理値 {true,false} に対する演算、∧、∨、¬、を与えるとブール代数になります。(参照→記号論理)

 実数の集合、{ x| 0≦x≦1 } に対して、max、min、1-x の3関数を与えてもブール代数になります。この場合は、0元が、0.0 で、 1元が、1.0 となります。

 集合 Ω の部分集合全体に対して、∩、∪、補集合、の演算を与えてもブール代数になります。この場合は、0元がφ、1元がΩ 、となります。

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