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概要

 群、環、体は抽象代数の代表格でしょう。(参照→,,,代数系) 特に計算機での実装にかかわりが多いのは n乗根を持つ整数環とガロア体ではないでしょうか。ここでは、環の基本的な話を書きます。

 群は、2項演算を一個だけ持つ代数系でしたが、環と体は2個の演算を持ちます。

 体(field) は数学辞典などで調べると、乗法が可換であることを前提とせず、乗法が可換な体を可換体(commutative field) として言葉を区別しています。しかし、工学系教科書などで体という言葉はほとんど可換体ばかり指しています。従って、数学者を目指さない我々技術者は、体=可換体と考えてまず差し支え在りません。

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定義

 共通の台を持ち、それぞれ二項演算を一個有する代数系 (S,+) と (S,*) があるとします。それらが以下の性質 (1),(2),(3) を満たす場合、 合成した二つの演算を有する代数系はと呼ばれます。

定義1) 代数系 F=(S,+,*,0,1) が体である
def
以下の (1) (2) (3) を満たす

 (1) (S,+) がアーベル群である。単位元を 0 と表記する。

 (2) (S-{0},*) が群である。(0 以外の元が逆元を持つ。)

 (3) ∀a,b,c∈S , a*(b+c) = (a*b)+(a*c) かつ (b+c)*a = (b*a)+(c*a) :分配則

 このときアーベル群 (S,+) の単位元を加法単位元といい、0 と表記し、アーベル群 (S,*) の単位元を乗法単位元といい、1 と表記します。体を (S,+,*,0,1) と表記します。また、アーベル群 (S,+,0) で元 a の逆元を体の加法逆元といい、-a と表記します。 元 a と -b に演算 + を適用する場合(すなわち a+(-b) ) を a-b と略記します。また、アーベル群 (S,*,1) で元 a の逆元を乗法逆元といい、 1/a と表記します。

 定義 1-(2) で {0} 以外と断っているのは、ゼロによる除算を避けるためです。

 

 例1) 有理数の全体 Q、実数 R、複素数 C は体になる。

 例2) 多項式 p を法とする規約多項式の集合 Fp は体になる。

 体の定義そのものは、書物によって様々です。多くは次に2分できます。

 (定義例1) 群アーベル群→アーベル環→体 と群の派生で定義したもの

 (定義例2) 体は群を二個所有すると定義したもの

 本用語集は(例2)の定義のほうを書いておきました。どちらもさしているものは同じはずですから、好きなほうを選べばよいのだと思います。しかし、本HPの目的は工学向けであり、そのまま実装に利用しやすい定義をより推奨したいので、(例2)に近い形を採用しました。

 以下に乗法が可換な体を定義し、可換体と呼んでいます。しかし、世間でというとほとんど可換体のことです。

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可換体

 体 F の乗算 * が、交換則を満たす場合、体F を可換体(comutative field) といいます。

 (4) ∀a,b∈S , a*b=b*a :交換則

 普通、(特に工学では)とだけいった場合は可換体を指します。可換でない体を特に斜体というようです。

定義2) 代数系 F=(S,+,*,0,1) が可換体である
def
(1) (2) (3) (4) を満たす

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有限体

 体 F の台 S が有限な体を有限体とかガロア体(Garois field) といいます。例えば、多項式を法とする規約多項式の集合は、自然な多項式の加減乗除に関して体となります。(参照→有限体)

定義3) 体 F=(S,+,*,0,1) が有限体である
def
台 S が有限集合である

 ガロア体は、実装すると誤り訂正符号や暗号で大活躍します。また、整数の乗算の高速化や逆行列の高速化などよりプリミティブなレベルの高速演算も与えてくれることがあります。

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(体上の)乗法群

 体 F=(S,+,*,0,1) の乗法は群 (S-{0},*,1) を作ります。この群を体 F 上の乗法群(multiplicative group) といいます。乗法群の台は S から元 0 を取り除いてあることに重ね重ね注意してください。

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部分体と拡大体

 体 F の部分代数系 f が体であるとき、f を F の部分体(subfield) といい、F を f の拡大体(overfield , extension field) といいます。

定義4) f が体 F の部分体
def
f が体F の部分代数系でかつ体
定義5) 体 F が体 f の拡大体
def
体 f が体 F の部分体

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素体

 体 F の部分体が唯一 F だけであるとき、F を素体(prime field) といいます。

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