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概要

 群、環、およびは抽象代数の代表でしょう。(参照→,,,代数系)中でもは、代数系の中でも特に構造の種類が豊富なものなのだそうです。数学者の興味を最もひきつけているのも群のようです。本用語集は数学系ではなくエンジニア系なので、この分野は深入りしません。しかしながら、群をプログラムに実装すると様々なアルゴリズムの構築に有利なことが多いので、群について簡単に説明します。

 ある文献によれば、モノイドより制約の弱いしくみでは無秩序すぎて多様な構造が現れず、反対に可換群より制約が強い場合は秩序がありすぎて、やはり多様な構造が出てこないのだそうです。(少なくともそういっている数学者がいる。)ちょうどいい秩序を持つのが群なのだそうです。特に可換群より群が面白いのだそうです。筆者にはそんな深遠な話は理解できませんが。

 群には以下の重要な概念があります。

名称 概要
巡回群 一個の元の冪乗の集合からなる群
正規部分群 H⊂G , ∀x(∈G) ,xHx-1=H
準同型写像 h:G→H , ∀a,b∈G , h(a)h(b)=h(ab)

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定義

 代数系 (S,*) の演算 * が結合的で、単位元を有し、かつすべての逆元を持つ場合は、その代数系を群(group) と呼びます。(参照→集合,写像,代数系) その代数系が有限代数系のときはその群を有限群と呼ぶことがあります。

定義1) 代数系 G=(S,*,e) が群である
def
以下の (1) (2) (3) を満たす

(1) ∀a,b,c∈S , (a*b)*c=a*(b*c) :結合則

(2) ∃e∈S , ∀x∈S , e*x=x , x*e=x :単位元の存在 (eを単位元と呼ぶ)

(3) ∀a∈S , ∃b∈S , a*b=e , b*a=e :逆元の存在

 {左単位元、右単位元、左逆元、右逆元} のうち三つだけ定義すると残り一つは導くことが出来るので、上記定義はちょっと冗長なのかもしれません。例えば、(1)結合則が成り立ち、(2)左単位元、右単位元が存在し、(3)左逆元が存在する。・・・と言い換えても良いわけです。

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可換群

 群 G の演算 * が、交換則を満たす場合、群Gを可換群(comutative group) またはアーベル群(Abelian group) といいます。

 (4) ∀a,b∈G , a*b=b*a :交換則

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部分群

 群 G=(S,*,1)部分代数系 G'=(S',*,1) がまた群になる場合、部分代数系 G' を部分群(subgroup) といいます。群の部分代数が必ず群になる保障はありません。しかし、有限群の部分代数は群です。

 定理G-1 有限群の部分代数は群である。

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