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概要

 半群は、結合的な代数系です。モノイドは単位元を持つ半群です。モノイドは形式言語で利用されるので、定義を書いておきます。代数系の中では半群よりも強い制約をもち、群より制約が弱いわけです。(参照→代数系)

 どうも群から出発して 群→環→体という方向と、群→モノイド→半群という方向に分かれるようです。モノイドや半群はむしろ数学の一分野というよりは計算論の基礎を与えるために作られた様に思われます。

 簡単にいうと、演算子を一個持ち、演算子が結合的であれば半群です。半群に単位元があればモノイドです。一般にどのような半群にも、新たな元を1個導入し、単位元として利用できるように演算を拡張すればモノイドになります。

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定義

 (S,*) を代数系とします。(参照→代数系)

 以下の (1),(2) を満たす場合、代数系の表記 (S,*) に単位元 e を補って M=(S,*,e) と表記し M をモノイド(monoid) と呼びます。逆元が定義できると群になります。(参照→)

定義1) 代数系 (S,*) が半群
def
以下の (1) を満たす
定義2) 代数系 (S,*,e) がモノイド
def
以下の (1) (2) を満たす

 (1) ∀a,b,c∈G , (a*b)*c=a*(b*c) :結合則

 (2) ∃e∈G , ∀x∈G , e*x=x , x*e=x :単位元の存在 (eを単位元と呼ぶ)

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アーベルモノイド

 モノイド M の演算 * が、交換則を満たす場合、モノイド M をアーベルモノイド(Aberian monoid) といいます。

 (3) ∀a,b∈M , a*b=b*a :交換則

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半群(semigroup) と モノイド(monoid)

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