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概要

 集合上 X の元 x から集合 Y の元 y へ対応させます。(参照→集合,対応,関係)これを f(x)=y と表記して、対応のさせ方を示す f を関数(function) と呼びます。

 関数(function) のことを写像(mapping) ともいうようです。筆者はこれらの区別は良く知りません。

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定義

 集合 X から 集合 Y への対応 f:X→Y が、集合Xのどの元 x∈X に対しても対応する Y 元が高々1個の場合、f を部分関数(partial function) といいます。x に対して、(x,y)∈f であるような y が存在しない場合は部分関数 f が x に対して未定義(undefined) であるといいます。

 未定義であるということは、X に属すけれども対応 f の定義域 Dom(f) に属さない元があるということです。そのような元が無い場合は、対応 f は全域関数(totaly function) と呼ばれます。(参照→定義域)

 対応 f と集合 X の元 x∈X に対して Yの部分集合 f(x)⊂Y を以下に定義します。

定義1) f(x)
def
{y∈Y|(x,y)∈f}

 一般に f(x) を x の像(image) といいます。f(x) が空集合の場合、f(x) は未定義(undefined) であるといいます。

定義2) f:X→Y が部分関数 
def
 ∀x∈X ,|f(x)|≦1
定義3) f::X→Y が全域関数 
def
 X=Dom(f)

 全域関数を関数(function) または、写像(mapping) ともいいます。f(x)={y} であるとき、f(x)=y とも表記し特に区別しません。ある x について f(x) の元が2個以上あるような対応 f は、正式には関数とは呼びませんが、場合によっては非決定性関数(nondeterministic function) と呼ぶことがあります。

 書物によっては、全域関数で「ない」ものだけを部分関数と呼んでいるものもあります。

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全射と単射

 関数 f:X→Y が、Range(f)=Y であるとき、 f を上への(onto)関数または全射(surjection) とよびます。値域全体を覆ってしまう感じです。また、x≠y である異なる値に対応する f(x)f(y) が常に異なる場合は1対1(1 to 1)関数または単射(injection) といいます。全射で単射の場合は1対1上への(1 to 1 onto)関数または全単射(bijection) といいます。

定義4) f:X→Y が全射 
def
 Y=Range(f)
定義5) f:X→Y が単射 
def

 ∀x∈X ,∀y∈Y ,
 x≠y ならば f(x)≠f(y) 

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