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概要

 計算幾何学(computational geometry) は、おそらく最も工学上の応用が多い数学分野の一つです。しかしながら、計算幾何学という言葉が指す研究分野を定義せよ、というのは難しい気がします。

 計算幾何学は、計算複雑性と深いかかわりがあります。(参照→計算複雑性)

 人間が紙に描くことができる図形上の学問に、計算量的な考察を加えた研究分野全般を計算幾何学(computational geometry) というくらいにしておきます。

 ☆分野一般

用語 概要
幾何学的探索 領域や点を集合から探し出す研究分野
 点位置決定問題 集合内の点を探索する
 領域探索問題 集合内の領域を探索する
近接関係 点の近接について研究する
 最近点対問題 集合内の一番近い2点を求める
 平面三角形分割 平面領域を3角形に分割する
 ボロノイ図 領域を多角形に分割する
グラフ理論 頂点 V と関係 R(⊂V×V) について
 巡回セールスマン問題 辺の長さ合計を最小にする巡回閉路を探す
 最小木問題 辺の長さ合計を最小にする木を探す
長方形幾何学 対象を長方形に限った幾何学

 ☆構成要素について

用語 概要
点,線,面,平面,超平面 計算幾何学で扱う構成要素
凸包 任意 2 点間の直線が外へはみ出さない集合
頂点,辺 グラフ理論で扱う構成要素

 詳細はこちら(参照→幾何学的探索,グラフ,近接関係,凸包)

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計算機モデル

 計算幾何学計算量時間量領域量)を論じる場合、モデルとして用いられる計算機は、恐らくランダムアクセス機械チューリング機械が多いでしょう。そして、記憶テープレジスタに座標としての実数や実数の組を書き込めるように拡張している場合が多いと思われます。

 (参照→計算機モデル,ランダムアクセス機械)

 しかし、実数書き込み記憶テープ利用法には最低限守らなくてはならない制約があります。それは、計算時間や計算領域を極端に変えてしまうようなトリッキーな使い方をしてはならないというものです。

 実数が書き込めてしまうということは定義の裏をかいたトリッキーな利用法を考えれば限りなく長い 0,1 数列を書き込むことも出来てしまうわけで、テープの単なる 1 マスがそれだけで1本のテープの能力を持ってしまいます。極端な話、「任意のグラフ問題は定数領域で計算できる」などというとんでもない結論をも導きかねないのです。

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