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概要

 記号論理は、様々な数学的理論の骨組みになります。命題論理(propositional logic)述語論理(predicate logic) の基本的な定義を与えます。

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論理記号

 以下に、記号論理で用いられる記号を列挙してみました。pとq を命題としたとき、以下は命題です。

名称 記号 概要 (p,q を命題とする)
論理積 p∧q pかつq を意味する
論理和 p∨q pまたはq を意味する
否定 ¬p pでない を意味する
含意 p⇒q pならばq を意味する
同等 p⇔q (pならばq) かつ (qならばp) を意味する

以下に示す、全称命題(universal proposition)存在命題(existencial proposition) を超限的命題といいます。

名称 記号 概要
全称 ∀x P(x) 全ての x について P(x) を満たす
存在 ∃x P(x) P(x) を満たす x が存在
 

 記号 ∀,∃ が付けられた変数は束縛変数(bound variable) と呼ばれ、そうでない変数は自由変数(free variable) と呼ばれます。論理式 P(x) の x を束縛したとき、P(x) は x の関数ではなくなります。

 全称記号と存在記号は表記する順番によって意味が異なるので注意が必要です。

 例1) ∀y ,∃x , P(y,x) :どの y にも P を満たす x がいる。

 例2) ∃y ,∀x , P(y,x) :すべての x と P を満たす y がいる。

 ある大学の計算機科学科の教授は、話を面白くするため、y を男、xを女になぞらえ、述語 P を 「yとxが●●した。」と説明しました。(この語 ●● は success の日本語訳と同音異義語)

 例1) は 「どの男にも●●した女がいる(=童貞はいない)」、例2) は 「全ての女と●●した男がいる(=絶倫男がいる)」、と解釈し大いに受けをとりました。 しかしその後、この●●が教育の場にふさわしくないという女子学生の抗議によって教授会で問題になってしまい、この教授はその後の講義で、述語Pを「握手した」に変えたそうです。 (実話)

 例3) ∀x , y , P(x,y) :乱交

 

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真理値表

 命題が、真(true) のとき T と表記し、偽(false) を F と表記することにします。集合 B={T,F} の元を真理値(truth value) といいます。値域を、真理値とする関数を真理値関数(truth function) といいます。記号 ∧ ∨ ¬ は関数とみなすことが出来ます。

 命題、p q の真偽と関数の真偽を表にします。

p q p∧q p∨q p⇒q
F F F F T
F T F T T
T F F T F
T T T T T
  
p ¬p
F T
T F

 C 言語では、∧を && と表記、∨を || と表記しますね。

 p⇒q は、表現を変えると (¬p∨q) と表現できます。

 p⇔q は、表現を変えると、 ( ( p∧q ) ∨ ( (¬p)∧(¬q) ) ) と表現できます。

 

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命題論理

 関数 ∨,∧,¬,⇒ に限って研究する範囲を命題論理(propositional logic) といいます。全ての真理値関数は、∧,∨,¬ の組み合わせで表現できます。

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述語論理

 命題論理の範囲に全称∀や存在∃の概念を加えた論理の範囲を述語論理(predicate logic) といいます。

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記号論理(symbolic logic)

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