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概要

 数は数学上の様々な概念の基本になります。おおまかに以下の様に分類されます。いずれも、無限集合になります。無限集合を定義するには、自然数を利用します。(参照→集合,濃度)

名称 表記 概要
自然数 N 数えるために使い、加算と乗算が定義できる
整数 Z 自然数に負の概念が加わり、加算の逆演算が定義された
有理数 Q 整数に比の概念が加わり、乗算の逆演算が定義された
実数 R 極限が定義された
複素数 C 虚数部が加わえられた

 自然数(natural number) はペアノの公理によって性質を与えられ、集合論の言葉から定義されます。(他の方法から定義することも出来ます。)有理数(rational)実数(real)複素数(complex)代数系(algebraic system) でいう環(ring) 体(field) の性質を持ちます。(参照→代数系,,)

 まず、自然数を定義して、次に整数、有理数、そして実数、複素数と性質をあらたに与えて連鎖的に定義します。たいてい拡張された定義に進むと前の段階の演算に逆演算で閉じるようになります。例えば、自然数の加法の逆演算ができるのが整数であり、整数の乗法の逆演算ができるのが有理数という具合です。

 集合→自然数→整数→有理数→実数→複素数

 自然数の定義はあらかじめ与えたい性質「ペアノの公理」を満たすように行います。よく用いられるのは、集合の定義を利用して、集合の演算 x∈XX∪Y などの演算だけから定義する方法です。次に、自然数に負の概念を与えて整数として、整数に比の概念を与えると有理数になります。

 上記の定義の連鎖を考えたとき、自分が発明するという立場だったとしたら、特に発想に飛躍を要するのは、自然数の定義実数の定義ではないでしょうか。それ以外は、わかってしまうとなんとなく「俺でもできるさ」と考えたくなります。自然数や実数の定義は理解するのはちっとも難しくはないものの、新たに考え出すとしたらしれは超天才にしか出来ない気がします。有名な言葉に「自然数は神が与えた、他の数は人間が作った」があります。誰の言葉でしたっけ?

 我々は数学者を志すものではなく、技術者です。その立場からいうと実装上役に立つのは、自然数と実数を除く、整数有理数複素数の定義ではないかと思います。これらは、オブジェクト指向言語で「クラス」としてしまうことで大変に役に立ってくれます。整数は、64Bit 未満のものならたいていの処理系が用意してくれますが、2000 Bit 整数などは、自分で定義しなければならないことも少なくありません。

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自然数

 まず 0 を自然数と定義し、後者(successor) という演算を与えます。後は芋づる式に 1,2,3,4 ... と自然数に加えていきます。(参照→自然数)

 自然数には、加算と乗算を定義することが出来ます。しかし、逆演算は定義できません。つまり逆関数が全域関数になりません。(参照→関数)

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整数

 整数は、自然数に「負」の概念を加えたものです。自然数では加算に逆演算が与えられません。 5-3 を定義できても 3-5 は範囲外になります。それを補うように与えられました。(参照→整数)

 コンピュータの世界で最も使われる数かもしれません。自然数はコンピュータの世界では符号無し整数と呼ばれ、特殊な整数に過ぎません。

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有理数

 有理数は、整数上で定義できなかった乗算の逆演算を補うように定義されました。a/b (a,b∈Z) として表せる数の集合です。(参照→有理数)

 コンピュータでよく使われる数です。

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実数

 実数は、有理数で定義できなかった極限と呼ばれる操作を補うように定義されました。(参照→実数)

 コンピュータでは扱えない数です。コンピュータでは浮動小数点で表せる数を実数と呼びます。しかしながら、これで表すことができるのは有理数(のごく一部)だけです。

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