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概要

 整数に比の概念を導入したものが有理数(rational) です。例えば、2整数 4,5 の間に除法演算子を補って 4/5 等と表記します。(参照→整数,自然数)

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定義

 整数の二つ組全体の集合 Z×(Z-{0}) を考えます。組 (a,b) (∈Z×Z) の上に同値関係を定義します。

 定義1) (a1,b1)〜(a2,b2)
def
a1*b2=a2*b1

 直感的に分数になぞらえると、上記 a1,a2 が分子、b1, b2 が分母と呼ばれるものです。そうすると、上記は 1/2 = 2/4 = 3/6 ... と言っています。b1 ,b2 は 0 にはなりません。

 この同値関係による商空間 (Z×Z-{0})/〜 を Qと表記し有理数(rational number) と呼びます。

 それぞれの同値類を K(a,b) と表記します。

 例えば、同値類 K(2,3) は集合 {(2,3), (4,6), (6,9), (8,12), ... } を意味し、同値類 K(5,4) は集合 {(5,4), (10,8), (15,12), (20,16), ...} を意味します。

 二つの整数 a,b∈Z ,b≠0 について同値類 K(a,b)a/b と表記します。整数 k∈N を有理数 K(k,1) と同一視することができます。

 上記の様に定義した この同値類を有理数(rational number) と呼ぶわけです。

 上記定義は、浮動小数点誤差を出さない分数演算を定義できるので、プログラミング上有利に働きます。浮動小数点演算の場合は、(1/n) * n=1 ? が成立するかどうかが実装依存です。0.333333・・・等の無限に展開される少数は途中で打ち切られてしまいます。有理数を整数の組で表現した場合は、1/3+1/7 のような計算を打切り誤差無しで実装できます。

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加法と減法

 関数 +:Q×Q→Q と関数 -:Q×Q→Q を定義します。

 定義2) K( a1,b1 ) + K( a2,b2 )
def
=
K( a1*b2 + a2*b1 , b1*b2)
 定義3) K( a1,b1 ) - K( a2,b2 )
def
=
K( a1*b2 - a2*b1 , b1*b2)

 このとき、関数 + を加法、関数 - を減法と呼びます。有理数 K(k,1) を 整数 k と同一視したとき、整数の加法、減法をちゃんと保存します。定義2)定義3) は以下のことを述べています。

a
—–
b
+ c
—–
d
= a*d+b*c
———–
b*d
   ,    a
—–
b
- c
—–
d
= a*d-b*c
———–
b*d

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乗法と除法

 関数 *:Q×Q→Q と関数 /:Q×Q→Q を定義します。

 定義4) K( a1,b1 ) * K( a2,b2 )
def
=
K( a1*a2 , b1*b2 )
 定義5) K( a1,b1 )/K( a2,b2 )
def
=
K( a1*b2 , b1*a2 )

 このとき、関数 * を乗法、関数 / を除法と呼びます。有理数 K(k,1) を整数 k と同一視したとき、自然数の乗法をちゃんと保存します。定義4)定義5) は以下のことを述べています。

a
—–
b
* c
—–
d
= a*c
——–
b*d
   ,    a
—–
b
c
—–
d
= a*d
——–
b*c

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比較

 有理数、K(a1,b1) , K(a2,b2) ∈Z に比較を導入します。

 定義6) K(a1,b1)≧K(a2,b2)
def
a1*b2≧a2*b1

 有理数 K(k,1) を整数 k と同一視したとき、整数の比較をちゃんと保存します。

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群、環、体

 有理数は、加法に関して (Q,+,0) を作ります。

 有理数は、加法と乗法に関して (Q,+,*,0,1) を作ります。

 有理数は、加法と乗法に関して (Q,+,*,0,1) を作ります。

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は-ほ ま-も や-よ ら-ろ わ-ん

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