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概要

 集合と集合の間に大小関係のようなものを定義したくなることがあります。集合 A は 集合 B より大きいなどと言えたら便利なこともあるでしょう。そこで、比較を容易にするために濃度(cardinality) という概念を導入します。

 濃度は、有限集合(finite set) 無限集合(infinite set) で考え方が違います。ですから、有限集合と無限集合を分けなくてはなりません。ところで、集合を有限集合 とか無限集合 に分けるにはどうしたらよいでしょうか。そもそもその定義は何でしょうか? 下記(定義)の項を参照してください。

 有限集合の濃度は元の数です。元の数が多い場合は、大きいといって差し支えなさそうです。実際、物の数を数えるというのは自然数の部分集合 {1,2,3,...,n} で目的とする集合と同じ大きさのものを見つけるという行為に他なりません。(参照→集合,自然数

 無限集合の場合は、簡単に集合の間の大きさ比較のようなものが出来ません。

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定義

 無限集合を定義します。自然数全体の集合からからその集合への 1対1 対応(つまり単射)がある場合はその集合を無限集合(infinite set) といいます。このときは、1対1上への対応(つまり全単射)である必要はありません。全単射が存在する場合は、特に可算無限集合(countably infinite set) と呼びます。(参照→自然数,関数)

 無限集合でない集合を有限集合(finite set) といいます。

定義1) S が無限集合
def
単射 h:N→S が存在する
定義2) S が有限集合
def
S が無限集合ではない

 系としていろいろ導けてしまいます。

 (1) 無限集合を部分集合に持つと無限集合

 (2) 無限集合と任意の集合の和集合は無限集合

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濃度

 (有限集合)

 集合 S を有限集合とします。 S をどのように選んでも、n ∈N との間に全単射 h:n→S が存在するように n を選ぶことが出来ます。(参照→自然数,関数)

 そのとき、S の濃度(cardinality) を n と定義し |S| = n と表記します。

 例) 集合 S = {アリー , ビリー , ジョージア}

 自然数の元を小さい順に以下に表記します。


   0,1,2,3,.... ∈N
   0=φ
   1={ φ }
   2={ φ,{φ} }
   3={ φ,{φ},{φ,{φ}} }
   4={ φ,{φ},{φ,{φ}} ,{φ,{φ},{φ,{φ}}}  }
   .....

 全単射 h:3→S は容易に見つかります。

 h(0)=アリー h(1)=ビリー h(2)=ジョージア ...従って、集合 S の濃度は 3 です。

 自然数 3 は、それ自身が集合であり、その濃度が 3 なのです。

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濃度

 (無限集合)

 可算無限集合濃度(cardinality) は、À0 と表記します。この妙な文字はアラビアアルファベットの最初の文字アレフで、添え字としてゼロをそえ、アレフゼロと呼びます。自然数全体と対等な集合の濃度をこのように表記します。奇妙な話では在りますが、整数の集合 Z や 有理数の集合 Q や 例えば 7 の倍数の集合も濃度はすべて可算無限です。

 可算無限集合(countably infinite)でない無限集合も見つかっています。形式的にいうと、集合 S に対して N からの単射 h:N→S が存在し、全単射 g:N→S が存在しない場合があるということです。例えば 実数の集合 R や、その部分集合 { x| x∈R , 0≦x≦1 } 等です。このような集合の濃度は À と表記しアレフと読みます。(参照→対角線論法)

 アレフはどこかの宗教団体(かつて鳥の種類名のような名前だった?)のような名前ですが、数学上重要な概念です。

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対等

 集合が対等であるという概念を与えます。集合の大きさに関する比較です。ある集合 U から別の集合 V に対して全単射が存在する場合、二つの集合 U V は対等(equipotent) とか濃度が対等であるといいます。U〜V と表記します。

定義3) U 〜V
def
全単射 h:U→V が存在する

 関係対等は、U V がそれぞれ有限集合であっても無限集合であっても使えます。 N と対等な集合が可算無限集合です。関係対等同値関係です。

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