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概要

 時間軸上の関数を、周波数軸上の表現に置き換えたい場合は、フーリエ変換(fourie transform) を用いることが出来ます。 計算機上で変換を行う場合は、データを離散化しなければならないため、離散フーリエ変換離散コサイン変換など、離散データ向きの表現に置き換えて利用します。

 フーリエ変換は、周期関数の級数展開として、フーリエ級数の研究から始まりました。

 工学上は、周波数を良く用いますが、フーリエ変換式を簡潔に書くには角速度の方が適しています。そこで、周波数 f を角速度 ω=2πf で置き換えて表記します。

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定義

 時間軸上の関数 x(t) と周波数軸上の関数 X(ω) の対応関係を示しています。定義1 はフーリエ変換を、定義2 はフーリエ逆変換です。ここで、角速度 ω と周波数 f の間には ω=2πf の関係があります。

 定義1) X(ω)= 1
—–
2
π
-∞
x(t) e-iωtdt
 定義2) x(t)=
-∞
X(ω) eiωt

 (*) 定義1の規格化係数 1/2π を変換式、逆変換式の双方に分配する以下の式も良く用いられます。また、規格化定数を変換ではなく逆変換にかける場合もあります。

 定義1') X(ω)= 1
——
Ö
2π
-∞
x(t) e-iωtdt
 定義2') x(t)= 1
——
Ö
2π
-∞
X(ω) eiωt

 (*) 自然対数の底 e の肩に乗っている iωt の成分の符号を逆にした式(変換時に + 逆変換時に -を使う式)も良く見られます。

 数学系では「変換時に - 逆変換時に + 」であることが多いです。逆変換の方で符号を「正」にするのは、逆変換の直感的イメージが、「複数の正弦波を足し合わせて目的関数を作る様子」としてとらえ易いからです。その場合は正変換の方を - にします。しかしながら、反対に変換を + 逆変換を - としているものもまた少なからずあります。これは通常関数を f 、逆関数を f-1 と書く習慣に準じたものと思われます。

 このような組み合わせは出来うる限りすべて用意されているようなので、定義を良く確かめた上で利用するのが良いと思われます。

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